表示したいユーザーのidが決まっている場合。

<?php
$result = (int) $wpdb->get_var("
    SELECT COUNT(*) FROM $wpdb->posts
    WHERE post_type = 'post'
    AND post_status = 'publish'
    AND post_author = '1(ここにユーザーのidを入れる)'
    ");
?>
記事数:<?php echo $result; ?>

 BuddyPressのプロフィールページで表示したい場合。

<?php
$post_author = bp_displayed_user_id();
$result = (int) $wpdb->get_var("
    SELECT COUNT(*) FROM $wpdb->posts
    WHERE post_type = 'post'
    AND post_status = 'publish'
    AND post_author = $post_author
    "); ?>
記事数:<?php echo $result; ?>

参考:WordPressで指定ユーザーの記事総数・未公開記事数を表示する方法

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